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Informationstexte

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Grundsätzliches zu guten Aufgaben

In einem Unterricht, der neben dem Erwerb inhaltsbezogener Kompetenzen insbesondere auch die Schulung prozessbezogener Kompetenzen anstrebt, spielen gute Aufgaben eine wesentliche Rolle. Die Qualität des Unterrichts hängt in erheblichem Maße von der Art der Aufgabenstellungen ab. Was aber sind gute Lernaufgaben? Wodurch zeichnen sie sich aus? Wie lassen sie sich von „anderen" Aufgaben abgrenzen?

„Gute Lernaufgaben"

Der neue Lehrplan für die Grundschule. Eine Illustration durch 10 Unterrichtsbeispiele


Dieser Text beschreibt einführend, was man unter prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzen versteht, und illustriert anhand von zehn Unterrichtsbeispielen, wie eine integrierte Förderung dieser beiden Kompetenzbereiche im Mathematikunterricht der Grundschule aussehen kann.

Wie verdeutlicht sich das operative Prinzip im Geometrieunterricht der Grundschule?

Wie lernen Menschen zu lernen? Wie kann dieses Lernen-Lernen und (menschliches) Lernen überhaupt beschrieben werden? – Mit dem operativen Prinzip versucht die Entwicklungspsychologie Antworten auf diese Fragen zu geben und fasst mit diesem Leitprinzip des Lernens Erkenntnisse über die Architektur und die Mechanismen des menschlichen Lernens zusammen. Doch welche Bedeutung haben diese Erkenntnisse im Kontext des Mathematiklernens? Und: (Wie?) lassen sie sich darauf bezogen umsetzen?

Der folgende Text möchte Einblicke geben, wie Kinder in der Grundschule mit Hilfe des operativen Prinzips Geometrie lernen. Dazu werden zunächst die Grundlagen des operativen Prinzips thematisiert. Mit Hilfe von vier Beispielen soll jeweils der Kern des operativen Prinzips herausgestellt und insbesondere verdeutlicht werden, wie das operative Prinzip im Geometrieunterricht Anwendung finden kann.

Gute Aufgaben zu Zahlen und Operationen

„Umkehrzahlen"

In diesem Papier wird der mathematische Hintergrund der Aufgabenstellung „Subtraktion von Umkehrzahlen" beschrieben. Außerdem werden Variationen und die vielfältigen Einsatzmöglichkeiten dieser Grundaufgabe beschrieben.

„Minustürme"

Den „Minustürmen" liegt folgende Regel zugrunde (vgl. Müller & Wittmann 1992, S. 38 f.): Aus drei Ziffern wird die kleinste und die größte Zahl gebildet (z.B. 942 und 249). Nun wird deren Differenz ermittelt (942-249=693). Aus deren Ziffern wird wiederum die kleinste und die größte Zahl gebildet und erstere von letzterer subtrahiert (963-369=594), usw. (954-459=495). Sobald sich die Ziffern 4, 5 und 9 ergeben, begibt man sich in eine Wiederholungsschleife, denn es ist stets 954-459 zu rechnen. Ein Bericht über eine Doppelstunde ...

„MIMI-Aufgaben"

„MIMI-Zahlen" sind Zahlen der Bauart abab, also z.B. 7373 oder 9595. Wenn man von einer „MIMI-Zahl" deren jeweils kleinere Umkehrzahl subtrahiert, also beispielsweise 9595-5959 oder 7373-3737 rechnet, ergeben sich „MIMI-Aufgaben". In diesem Papier werden unterrichtliche Aktivitäten im Kontext der „MIMI-Aufgaben" beschrieben.

Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen

Reihenfolgezahlen sind aufeinander folgende natürliche Zahlen. Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen sind demnach Aufgaben des Typs 3+4, 2+3+4+5 oder 18+19+20. In diesem Papier wird beschrieben, wie Kinder eines vierten Schuljahres sich mit der Aufgabe auseinander setzten, alle Plusaufgaben mit Reihenfolgezahlen zu finden, deren Ergebnis nicht größer als 25 war.

„Rechenquadrate mit Ohren"

Das Format „Rechenquadrate mit Ohren" basiert auf den folgenden Regeln:

Der Zusammenhang zwischen den Basiszahlen (innere Zahlen): Die Summen der Basiszahlen jeder Zeile müssen identisch sein. a+b=c+d
Der Zusammenhang zwischen den Basiszahlen und den äußeren Zahlen: Die Summe der Basiszahlen einer Spalte wird als Ergebnis in das anliegende äußere Zahlenfeld – im Sprachjargon der Kinder: „... in das anliegende äußere Ohr" – eingetragen. x=a+c und y=b+d
Je nach Vorgabe von Variablen geht es im mathematischen Kern des Formats inhaltlich jeweils um das Lösen eines Gleichungssystems im Bereich der natürlichen Zahlen, mit drei Gleichungen und 0 bis 6 Unbekannten. Dabei kann es keine, genau eine, mehrere oder unendlich viele Lösung(en) geben.

 

„Zauberquadrate" entdecken

Der Text geht zunächst auf die Mathematik als „Wissenschaft von den Mustern" ein. Anschließend werden die aus dem Lehrplan Mathematik 2008 und den Bildungsstandards Mathematik resultierenden Konsequenzen für den Mathematikunterricht in der Grundschule näher erläutert. Am Beispiel „Zauberquadrate" werden die Chancen und Möglichkeiten benannt, die sich für die Schülerinnen und Schüler in einem aktiv-entdeckenden Unterricht ergeben.

Entdeckendes Lernen am „Zahlengitter" für alle Kinder

Ein wesentliches Ziel des Unterrichts sollte es sein, Kindern einen entdeckenden Zugang zur Mathematik zu ermöglichen. Dafür bedarf es geeigneter Aufgabenformate, die die Schülerinnen und Schüler zu einer aktiven Auseinandersetzung mit mathematischen Mustern und Strukturen anregen. Im folgenden Text wird Ihnen exemplarisch das Aufgabenformat „Zahlengitter" vorgestellt, welches in Form reichhaltiger Aufgabenstellungen diverse Anlässe zum Erforschen und Entdecken bietet und eine Bearbeitung für alle Kinder möglich macht.


Gute Aufgaben zum Thema Raum und Form

„Inter-Netzzo"

Die Namensgebung der Lernumgebung „Inter-Netzzo" lässt schon vermuten, worum es gehen soll: Sich Gedanken darüber zu machen und herauszufinden, was „zwischen den Netzen" auf dem Weg vom Netz zur Schachtel bzw. zum Würfel passiert, und auch umgekehrt, was auf dem Weg von der Schachtel bzw. vom Würfel zum Netz passiert und welche Netze zusammengehören.

Für die Lernumgebung „Inter-Netzzo" wurden zu jedem Schachtelnetz bzw. Würfelnetz vier Abbildungen (1.–4. Faltzustand) erzeugt, die in „Moment-Aufnahmen" den Faltprozess auf dem Weg vom Netz zur Schachtel bzw. zum Würfel dokumentieren. Durch dieses differenziert ebenen- und raumgeometrische Abbildungsdesign stellen die Aufgabenstellungen und Spielideen der Lernumgebung folgende räumlich-mentalen Anforderungen an die Lernenden:

  • Zum ersten und zweiten Faltzustand: Wahrnehmen und Vergleichen einzelner oder mehrerer Flächen als Teil- und Gesamtfiguren (Figur-Grund-Diskriminierung, Wahrnehmungskonstanz, Wahrnehmung räumlicher Beziehungen und Wahrnehmung der Raumlage, Visuelle Unterscheidung). Förderung der Fähigkeitskomponenten der visuellen Wahrnehmung.
  • Zum dritten und vierten Faltzustand: Mentales Zusammen- und Auseinanderfalten des teilgefalteten Netzes. Zusätzlich zu den soeben genannten Aspekten steht hier räumliches Vorstellen und räumliches Denken im Mittelpunkt. Integrierende Förderung der Fähigkeitskomponenten der visuellen Wahrnehmung, des räumlichen Vorstellens und des räumlichen Denkens.

Entsprechend dieser Anforderungsschwerpunkte lassen sich die Aufgabentypen und Spielideen differenziert gestalten: Wie an obiger Aufgabenstellung exemplarisch verdeutlicht, können durch die Auswahl unterschiedlicher Faltzustände unterschiedlich anspruchsvolle Aufgabenstellungen entwickelt werden.

„Streichholz-Vierlinge & Co." – Eine substantielle Lernumgebung zur handlungsbasierten Symmetrie- und Raumvorstellungsentwicklung ab dem Anfangsunterricht

Was sind Streichholz-Vierlinge? Können Sie das anhand der folgenden Abbildungen herausfinden?

Wie viele Streichholz-Drillinge und -Vierlinge gibt es, wobei zueinander gedrehte Drillinge bzw. Vierlinge als gleich erachtet, zueinander gespiegelte Drillinge bzw. Vierlinge unterschieden werden? Warum existieren nicht mehr oder weniger? Diese Aufgabenstellungen liefern den Einstieg in diese substantielle Lernumgebung.

Durch die Operationen Hinzufügen, Wegnehmen oder Umlegen eines Streichholzes lassen sich neue Mehrlinge erzeugen. Das ist die grundsätzliche Idee des Spiels „DREI-VIER-LINO" und der Aufgabentypen innerhalb der Lernumgebung.

Das folgende Bild zeigt Erstlässler beim VIERLINO-Spielen. Welche Karten können Sie spielen?

Hier sehen Sie eine exemplarische Aufgabenstellung der unterschiedlichen Aufgabentypen aus der Lernumgebung: Können Sie eine (oder sogar mehrere) Reihenfolge(n) finden?

 

Gute Aufgaben zum Thema Größen und Messen

„Jede Aufgabe hat 'ne Lösung" – Warum Kinder Kapitänsaufgaben lösen

Ende der 70er-Jahre wurde in Frankreich Zweit- und Drittklässlern die Aufgabe vorgelegt: „Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?" Von den befragten 97 Kindern haben 76 die im Text angegebenen Zahlenwerte miteinander kombiniert und kamen dadurch beispielsweise zu dem Ergebnis, dass der Kapitän 36 Jahre alt sein müsse. Achtzig Prozent der Schüler hatten also eine unlösbare Aufgabe durch die Verknüpfung irrelevanter Daten gelöst. Der Beitrag berichtet über Folgeuntersuchungen und macht deutlich, dass man das Vorgehen der Kinder auf unterschiedliche Art und Weise interpretieren kann – stärken- bzw. kompetenzorientiert oder schwächen- bzw. defizitorientiert (vgl. hierzu auch das Modul 9.1).

„Das ist keine gute Anlocke!" – Vergleichende Bewertung von Preisangeboten

Bereits in der Grundschule kann eine Basis für einen verantwortungsvollen und kritischen Umgang mit Preis- und Sonderangeboten gelegt werden. Ein authentisches Preisangebot eines Friseursalons war Ausgangspunkt für die im Text beschriebenen Aktivitäten im Mathematikunterricht.

„Kann das stimmen?" – Möglichkeiten und Grenzen eines Aufgabenformates zum überschlagenden Sachrechnen

„Kann das stimmen?"-Aufgaben sollen Kinder dazu anhalten, Zahlenangaben kritisch gegenüber zu stehen und ihre Plausibilität zu prüfen. Im Beitrag werden Möglichkeiten und Grenzen des Aufgabenformats am Beispiel von Kurzmeldungen aufgezeigt.

Rechengeschichten – schreiben, bearbeiten, rückmelden, bewerten

Im Text wird eine Unterrichtseinheit in einer jahrgangsübergreifenden Klasse mit Erst- und Viertklässlern beschrieben. Es wird am Beispiel von Rechengeschichten aufgezeigt, wie Kinder die Leistungen ihrer Mitschüler wahrnehmen, rückmelden und bewerten. Bei einem solchen Vorgehen lernen die Kinder auch, ihre eigenen Leistungen besser einzuschätzen.

Als Malaufgabenforscher unterwegs

Kinder machen sich auf den Weg, um große Malaufgaben in ihrer Umwelt zu suchen. Neben der Förderung des Operationsverständnisses können in der beschriebenen Sachrechenreihe die Multiplikation, das Schätzen, Überschlagen und der Umgang mit Größen geübt sowie der Zahlensinn, das Mathematisieren, Darstellen, Argumentieren und Begründen gefördert werden.

Fermi-Aufgaben: Nicht nur Frage-Rechnung-Antwort!

Eine Fermi-Aufgabe ist eine offene, realitätsbezogene und herausfordernde Sachaufgabe, die keine exakte Lösung verlangt und die die Kinder u. a. zum Schätzen, Recherchieren von Daten, dem Finden verschiedener Lösungswege sowie der Interpretation und Bewertung der erlangten Ergebnisse motiviert. Anhand der Frage „Wie viele Autos stehen in einem 3 km langen Stau?" wird in diesem Text erklärt, warum Fermi-Aufgaben aus mathematischer und didaktischer Sicht zu den guten Aufgaben zählen.