2.2 Vorstellungen aufbauen

Das erwartet Sie in diesem Mini-Modul:

• Warum ist es wichtig, dass Lernende Vorstellungen aufbauen?
• Wie können Vorstellungen zu großen Zahlenräumen erarbeitet werden?
• Wie kann den Schwierigkeiten beim Umgang mit großen Zahlen begegnet werden? (Eigenaktivität)

Warum ist es wichtig, dass Lernende Vorstellungen aufbauen?

Zahlen sind abstrakt. Sie erhalten durch den Aufbau mentaler Vorstellungen Bedeutungen, die je nach Kontext verschieden sein können. Schüler:innen sollten Zahlen und Operationen deshalb mit vielfältigen Vorstellungen verbinden und diese verinnerlichen. Dies ist essentiell für den Aufbau eines sicheren und tragfähigen Zahl-, Operations- und Stellenwertverständnisses. Tragfähige Zahl- und Operationsvorstellungen unterstützen, unter Anderem durch:

• die Verinnerlichung der Zahlaspekte 
• das Erkennen und Nutzen von Zahlbeziehungen
• und einen sicheren Darstellungswechsel

den Rechenprozess. Dies kann Rechenschwierigkeiten vorbeugen.

Bereits im Anfangsunterricht werden Vorstellungen aufgebaut. Mit größeren Zahlen wird es jedoch zunehmend schwieriger, sich Zahlen und Operationen vorzustellen. Gerade deshalb ist es wichtig, auch in der Erarbeitung großer Zahlen, den Aufbau von Vorstellungen gezielt zu unterstützen. Durch anschlussfähige Materialien kann im erweiterten Zahlenraum an geschaffene Grundlagen angeknüpft, diese gefestigt und erweitert werden.

Wie können Vorstellungen zu großen Zahlenräumen erarbeitet werden?

Im Folgenden werden Möglichkeiten zur Vermittlung von Vorstellungen zu Zahlen und Operationen im Tausender- und Millionenraum präsentiert.

Förderung der Darstellungsvernetzung

Beim Vorstellungsaufbau findet eine Verknüpfung von bildlichen, sprachlichen, symbolischen und Darstellungen am Material statt. Der Wechsel zwischen den Ebenen sowie innerhalb einer Darstellungsebene muss trainiert werden. Dabei ist es wichtig, dass Lernende Zusammenhänge entdecken und begründen.

Einsatz von Anschauungsmaterialien

Der Vorstellungsausbau im erweiterten Zahlenraum kann mithilfe geeigneter Anschauungsmaterialien (siehe Mini-Modul 2.1) unterstützt werden. Anschlussfähige Materialien sind beispielsweise:

Zuvor wird der korrekte Umgang mit diesen gemeinsam besprochen und Strukturen durch den Vergleich mit bekannten Darstellungen aus dem kleineren Zahlenraum herausgearbeitet. Die meisten Anschauungsmittel sind im Zahlenraum bis eine Million einsetzbar, finden aber zunehmend ihre Grenze. Insbesondere die Stellentafel ermöglicht ein tieferes Verständnis für den Aufbau von Zahlen und das dezimale Stellenwertsystem. Im Gegensatz zum Anfangsunterricht wird sich immer mehr vom Material gelöst und auf die symbolische Ebene übergegangen.

 

Erkennen und Nutzen von Zahlbeziehungen

Der Bezug zu bekannten, kleineren und leichter darstellbaren Zahlen kann indirekt die Entwicklung von Vorstellungen zu großen Zahlen anregen (vgl. Grassmann & Fritzlar 2012, S. 6).

Im erweiterten Zahlenraum sollten daher Zahlbeziehungen durch Aufgaben zum Vergleichen und Ordnen von Zahlen vertieft werden. Dabei findet eine Fokussierung auf Stellenwerte statt. Der ordinale und kardinale Aspekt sollte angesprochen werden. Materialien wie die Stellentafel, das Würfelmaterial oder der Zahlenstrahl können zusätzlich als Hilfe fungieren. Davon sollte sich jedoch zunehmend abgewandt werden, sodass die Vergleiche im Kopf erfolgen und die Zahlen symbolisch zueinander in Relation gesetzt werden.

Thematisierung des Stellenwertsystems

Zur Abbildung sehr großer Zahlen muss das Stellenwertsystem verinnerlicht werden (siehe Mini-Modul 2.3). Es sollte durch vielfältige Bündelungsaktivitäten im Unterricht erarbeitet werden (vgl. Grassmann & Fritzlar 2012, S. 6). Die wiederholte Verwendung einer Stellentafel kann ebenfalls zum Aufbau von Stellenwertvorstellungen beitragen. 

Bezug zu Sachsituationen

Die Bezugnahme auf Sachsituationen aus dem Lebensumfeld der Kinder stellt eine weitere Hilfe zur Orientierung in größeren Zahlenräumen dar. Schüler:innen sollten große Zahlen aus ihrem Alltag und in ihrer Umgebung entdecken. Eine mögliche Aufgabe hierzu kann lauten: "Wie viele Buntstifte haben alle Kinder in unserer Schule?" (Padberg & Benz 2011, S. 72). So können direkte Vorstellungen zu großen Zahlen erarbeitet werden. Große Zahlen treten hierbei auch im Zusammenhang mit Größen (Längen, Zeitspannen, Geldwerte usw.) auf, da sie den Kindern in der Umwelt vor allem als Maßzahlen erscheinen (vgl. Grassmann & Fritzlar 2012, S. 4).

Schätzen und Überschlagsrechnen

Um solche Sachaufgaben zu berechnen, sind Schätzen und Überschlagsrechnen gefragt (vgl. Padberg & Benz 2011, S. 72f.): 

• Schätzen: gehört aufgrund einer nicht-zählenden, schnellen Anzahlerfassung wesentlich zum Zahlverständnis dazu. Die Anzahl oder Größe bestimmter Objekte ist unbekannt und wird begründet abgeschätzt. Es kann ein direkter oder indirekter Vergleich (gedankliches Messen) mit bekannten Anzahlen oder Größen erfolgen (vgl. Schipper 2009, S. 174).
• Überschlagsrechnen: dient dem Vermeiden von umständlichen Rechnen und dem möglichst schnellen annähernden Berechnen einer Aufgabe. Es fördert die Entwicklung des Stellenwertverständnisses, der Kopfrechenstrategien sowie der Zahl- und Größenvorstellungen.

Die gängigsten Strategien des Überschlagsrechnens sind:

• Schematisches Runden: mit den üblichen Rundungsregeln (ab 5 auf und bis 4 ab) auf eine bestimmte Stelle z. B. Zehner oder Hunderter runden; kann durch den Zahlenstrahl veranschaulicht werden; Beispiel: 411 + 198 ≈ 610, da 410 + 200 = 610
• Geschicktes Runden: Vereinfachen der Aufgabe durch das Ersetzen mit einer bekannten, leichteren oder auswendig verfügbaren Aufgabe; Beispiel: 411 + 198 ≈ 611, da 411 + 200 = 611

Eigenaktivität: Wie kann den Schwierigkeiten beim Umgang mit großen Zahlen begegnet werden?

Ordnen Sie den Schwierigkeiten mögliche Förderaufgaben zu.

Weiterführende Informationen aus Partnerprojekten

Weiterführende Informationen zur Vertiefung sowie Material zum Einsatz im Unterricht finden Sie auch auf folgenden Partnerprojektseiten:

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Mathe inklusiv

Informationen, konkrete Beispiele und Aufgabenstellungen zum Aufbau von Zahlvorstellungen im Unterricht.

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primakom 

Informationen und Unterstützungsmaßnahmen zur Entwicklung eines tragfähigen Zahlverständnisses.

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Zahlen darstellen - Übungen

Zahlen vergleichen und ordnen - Übungen 

Überschlagsrechnen - Übungen

Entwicklung eines sicheren und flexiblen Zahlverständnisses im 1000er- und Millionen-Raum.

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Mathe sicher können

Zahlverständnis - Förderbaustein N1 Stellenwerte verstehen und N2 Zahlen ordnen und vergleichen.

Literatur

Teile dieses Textes und Abbildungen sind entnommen von folgender Seite: 

Kira:

https://kira.dzlm.de/node/131

Mahiko:

https://mahiko.dzlm.de/node/160

https://mahiko.dzlm.de/node/169

https://mahiko.dzlm.de/node/175

https://mahiko.dzlm.de/node/180

https://mahiko.dzlm.de/node/181

https://mahiko.dzlm.de/node/189

https://mahiko.dzlm.de/node/190

Mathe inklusiv:

https://pikas-mi.dzlm.de/node/528

PIKAS:

https://pikas.dzlm.de/node/1723

https://pikas.dzlm.de/node/1724

https://pikas.dzlm.de/node/1945

Primakom:

https://primakom.dzlm.de/node/129

https://primakom.dzlm.de/node/418

• Grassmann, M. & Fritzlar, T. (2012). Keine Angst vor großen Zahlen - Zahlvorstellungen entwickeln. In: Praxis Grundschule (Heft 5), S. 4-6.
• Padberg, F. & Benz, C. (2011). Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung (4. Aufl.). Heidelberg: Spektrum.
• Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Braunschweig: Schroedel.
• Schipper, W., Dröge, R. & Ebeling, A. (2006). Handbuch für den Mathematikunterricht - 4. Schuljahr. Hannover: Schroedel.